EXCELで有限要素法の強度解析（６） - シミュレーションのトビラ

全体剛性マトリクス

全体剛性マトリクス

　前回節点ごとの要素剛性マトリクスを求めましたので、これをモデル全体について作成します。
　これまでのところをおさらいすると、
　要素剛性マトリクス $[ K_e]$ は、

$[ K_e ] = t \Delta [ D ]^T [ B ]^T [ B ]$
でした。
　要素剛性マトリクスは、要素ごとに存在しますので、イメージ的には下図のようになります。

　要素剛性マトリクス $[ K_e]$ にはBマトリクスが含まれていますが、Bマトリクスは節点ごとの成分を含んでいます(後述します)。そのため、要素剛性マトリクス $[ K_e]$ も節点ごとの成分を持ちます。三角形一次要素ですので、一つの要素に3つの接点があり、それぞれx座標とy座標がありますので、ひとつの要素ごとに6つの成分を含むことになります。

Dマトリクスのイメージ

　要素剛性マトリクス $[ K_e ]$ の式の中の、Ｄマトリクス $[ D ]$ は、

$[ D ] = \dfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \left[ \begin{array}{cccccc} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} ( 1-2 \nu) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} ( 1-2 \nu) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} ( 1-2 \nu) \\ \end{array} \right]$
であり、材料の物性によって決まるマトリクスで、形状には依存しませんでしたね。
　今回は平面ひずみモデルを考えますので、z座標を省略すると、Ｄマトリクス $[ D ]$ は下記のように簡略化できます。
$[ D ] = \dfrac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \left[ \begin{array}{ccc} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} ( 1-2 \nu) \end{array} \right]$
　応力とひずみの関係式は、Dマトリクスを用いて $\{\sigma\}=[D]\{\varepsilon\}$ という形でした。つまり、Dマトリクスは応力とひずみとを関連付けるマトリクスであり、下図のようなイメージとなります。

　よって、平面ひずみモデルの場合には、Dマトリクスは3行3列のマトリクスとなります。

Bマトリクスのイメージ

　要素剛性マトリクス $[ K_e ]$ の式の中の、Bマトリクス $[ B ]$ は、

$\begin{align} [ B ] &= \left[ \begin{array}{cccccc} \dfrac{\partial N_1}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_2}{\partial x} & 0 & \dfrac{\partial N_3}{\partial x} & 0 \\ 0 & \dfrac{\partial N_1}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_2}{\partial y} & 0 & \dfrac{\partial N_3}{\partial y} \\ \dfrac{\partial N_1}{\partial y} & \dfrac{\partial N_1}{\partial x} & \dfrac{\partial N_2}{\partial y} & \dfrac{\partial N_2}{\partial x} & \dfrac{\partial N_3}{\partial y} & \dfrac{\partial N_3}{\partial x} \end{array} \right] \end{align}$
で、これは形状によって変わる形状関数 $N_n$ を含んでいます。
　ちなみに形状関数 $N_n$ は、下記のような式でした。
$\begin{cases} N_1(x,y)=\dfrac{1}{2\Delta} \{ (y_2-y_3)x + (x_3-x_2)y +(x_2y_3-x_3y_2) \} \\ N_2(x,y)=\dfrac{1}{2\Delta} \{ (y_3-y_1)x + (x_1-x_3)y +(x_3y_1-x_1y_3) \} \\ N_3(x,y)=\dfrac{1}{2\Delta} \{ (y_1-y_2)x + (x_2-x_1)y +(x_1y_2-x_2y_1) \} \end{cases}$
　つまり、ひとつの三角形一次要素を構成している3つの接点の情報を持つマトリクスとなります。
　ひずみと各節点の変位の関係式は、Bマトリクスを用いて $\{\varepsilon\}=[B]\{u\}$ という形でした。つまり、Bマトリクスはひずみと節点の変位(座標)とを関連付けるマトリクスであり、下図のようになります。

　よって、平面ひずみモデルの場合には、Bマトリクスは3行6列のマトリクスとなります。

要素剛性マトリクスの中身のイメージ

　DマトリクスとBマトリクスのイメージから、要素剛性マトリクス $[ K_e ]$ の具体的なイメージを考えてみます。
　まず、Dマトリクスの転置行列とBマトリクスの転置行列を掛けていますので、イメージ的には下図のようになります。

　Bマトリクスが「節点別の方向ごとのひずみ成分」だったのに対して、Dマトリクスを乗じたことで、「節点別の方向ごとの応力成分」になりました。
　次に、これに転置ではないBマトリクスを乗じるわけですから、イメージ的には下図のようになります。

　よって、平面ひずみモデルの場合には、Keマトリクスは6行6列のマトリクスとなります。
　この要素剛性マトリクス $[K_e]$ が要素の数だけ作成されることになります。

全体剛性マトリクス

　要素剛性マトリクス $[K_e]$ のイメージがつかめたところで、いよいよモデル全体に展開します。
　要素剛性マトリクス $[K_e]$ の各節点番号は、前述の説明では便宜上①～③として記載しましたが、実際にはモデル全体における節点番号で記載されます。今回の片持ち梁の例では、要素は1～6の三角形一次要素と、①～⑧の接点により構成されています。
　例えば、「要素1」は節点①②⑦の3つによって構成されていますので、要素剛性マトリクス $[K_1]$ は①x①y②x②y⑦x⑦yの6行6列のマトリクスとなります。
　同様に、「要素2」は節点②③⑥の3つによって構成されていますので、要素剛性マトリクス $[K_2]$ は②x②y③x③y⑥x⑥yの6行6列のマトリクスとなります。その他の要素も同様です。

　また、モデル全体の全体剛性マトリクス $[K]$ は、8個の節点のxy座標のマトリクスとなり、合計で16列16行のマトリクスとなるわけです。
　要素ごとの要素剛性マトリクス $[K_e]$ を全体剛性マトリクス[K]に当てはめてみます。分かりやすいように、要素1と要素2だけ表示すると、下図のようになります。

　ここで、節点②に着目すると、要素1と要素2で重複しています。モデルをみても、節点②を共有していますね。この場合、節点②については、「要素1」の要素剛性マトリクス $[K_1]$ と、「要素2」の要素剛性マトリクス $[K_2]$ を足し合わせる形となります。
　この計算を6個の要素全てについて行い、モデル全体の全体剛性マトリクス $[K]$ を完成させます。

　次は、境界条件を設定して、マトリクス（連立方程式）を解いていきます。

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