EXCELで有限要素法の強度解析(6)
全体剛性マトリクス
前回節点ごとの要素剛性マトリクスを求めましたので、これをモデル全体について作成します。
これまでのところをおさらいすると、
要素剛性マトリクスは、
でした。
要素剛性マトリクスは、要素ごとに存在しますので、イメージ的には下図のようになります。
Dマトリクスのイメージ
要素剛性マトリクスの式の中の、Dマトリクスは、
であり、材料の物性によって決まるマトリクスで、形状には依存しませんでしたね。
今回は平面ひずみモデルを考えますので、z座標を省略すると、Dマトリクスは下記のように簡略化できます。
応力とひずみの関係式は、Dマトリクスを用いてという形でした。つまり、Dマトリクスは応力とひずみとを関連付けるマトリクスであり、下図のようなイメージとなります。
Bマトリクスのイメージ
要素剛性マトリクスの式の中の、Bマトリクスは、
で、これは形状によって変わる形状関数を含んでいます。
ちなみに形状関数は、下記のような式でした。
つまり、ひとつの三角形一次要素を構成している3つの接点の情報を持つマトリクスとなります。
ひずみと各節点の変位の関係式は、Bマトリクスを用いてという形でした。つまり、Bマトリクスはひずみと節点の変位(座標)とを関連付けるマトリクスであり、下図のようになります。
要素剛性マトリクスの中身のイメージ
DマトリクスとBマトリクスのイメージから、要素剛性マトリクスの具体的なイメージを考えてみます。
まず、Dマトリクスの転置行列とBマトリクスの転置行列を掛けていますので、イメージ的には下図のようになります。
次に、これに転置ではないBマトリクスを乗じるわけですから、イメージ的には下図のようになります。
この要素剛性マトリクスが要素の数だけ作成されることになります。
全体剛性マトリクス
要素剛性マトリクスのイメージがつかめたところで、いよいよモデル全体に展開します。
要素剛性マトリクスの各節点番号は、前述の説明では便宜上①~③として記載しましたが、実際にはモデル全体における節点番号で記載されます。今回の片持ち梁の例では、要素は1~6の三角形一次要素と、①~⑧の接点により構成されています。
例えば、「要素1」は節点①②⑦の3つによって構成されていますので、要素剛性マトリクスは①x①y②x②y⑦x⑦yの6行6列のマトリクスとなります。
同様に、「要素2」は節点②③⑥の3つによって構成されていますので、要素剛性マトリクスは②x②y③x③y⑥x⑥yの6行6列のマトリクスとなります。その他の要素も同様です。
また、モデル全体の全体剛性マトリクスは、8個の節点のxy座標のマトリクスとなり、合計で16列16行のマトリクスとなるわけです。
要素ごとの要素剛性マトリクスを全体剛性マトリクス[K]に当てはめてみます。分かりやすいように、要素1と要素2だけ表示すると、下図のようになります。
この計算を6個の要素全てについて行い、モデル全体の全体剛性マトリクスを完成させます。